Формулалар мен анықтамалар

Санның квадраты — сол санды өзіне көбейту нәтижесі.

a² — тең a · a

Шарты: a — кез келген нақты сан. Квадрат теріс болмайды.

Кубтың барлық қырлары тең. Көлем үш өлшемнің көбейтіндісімен табылады.

V — тең a³

Шарты: a > 0; жауап куб бірліктерімен өлшенеді.

Үшбұрыштың ауданы табан мен оған түсірілген биіктік көбейтіндісінің жартысы.

S — тең a · h / 2

Шарты: Биіктік табанға перпендикуляр; өлшем бірліктері бірдей.

Бірдей заттардың жалпы құны зат саны мен бір зат бағасының көбейтіндісіне тең.

C — тең n · p

Шарты: Бір заттың бағасы өзгермейді; ақша теңгемен беріледі.

Қосынды квадратына аралас 2ab мүшесі міндетті түрде кіреді.

(a + b)² — тең a² + 2ab + b²

Шарты: a мен b — нақты сандар.

Сыртқы бұрыш өзімен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең.

αсырт — тең β + γ

Шарты: Жазық үшбұрыш; бұрыштар градустармен өлшенеді.

Сан квадратының арифметикалық түбірі бастапқы санның модуліне тең.

√(a²) — тең |a|

Шарты: Түбірдің мәні теріс емес.

Екі қабырғаның ортасын жалғайтын кесінді үшінші қабырғаға параллель және одан екі есе қысқа.

m — тең a/2

Шарты: Кесінділер екі қабырғаның дәл орталарын қосады.

Түзу көлбеулігі ордината өзгерісінің абсцисса өзгерісіне қатынасы.

k — тең (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Шарты: x₂ ≠ x₁; тік түзу үшін көлбеулік анықталмайды.

Тең мүмкіндікті нәтижелерде қолайлы жағдайлар санын барлық жағдай санына бөлеміз.

P — тең m/n

Шарты: Барлық нәтижелер тең ықтималды және n > 0.

Туынды аргументтің берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығын сипаттайды.

(x³)′ — тең 3x²

Шарты: Көпмүше барлық нақты x үшін туындыланады.

Тік призманың көлемі табан ауданы мен биіктіктің көбейтіндісі.

V — тең Sтаб · h

Шарты: Табан ауданы мен биіктіктің өлшем бірліктері сәйкес.

Анықталған интеграл алғашқы функцияның жоғарғы және төменгі шектегі мәндерінің айырмасы.

∫₀ⁿ 2x dx — тең n²

Шарты: n ≥ 0; 2x функциясы осы аралықта теріс емес.

Пирамида көлемі дәл сол табан және биіктігі бар призманың көлемінің үштен бірі.

V — тең Sтаб · h / 3

Шарты: h — табан жазықтығына перпендикуляр биіктік.

Бөлшек бүтіннің тең бөліктерінің санын көрсетеді. Алым — алынған бөліктер саны, бөлім — бүтін бөлінген тең бөліктер саны.

a, c — алымдар; b — ортақ бөлім.

Шарты: b ≠ 0. Бөлімдері әртүрлі болса, алдымен ортақ бөлімге келтіреміз.

Ондық бөлшек — бөлімі 10, 100, 1000 сияқты онның дәрежесі болатын бөлшек.

Үтірден кейінгі бірінші орын — ондық үлес.

Шарты: Қосу кезінде үтірлер бірінің астына бірі жазылады.

Аудан — жазық фигура қамтитын беттің өлшемі; периметр — оның шекарасының ұзындығы.

a, b — іргелес қабырғалар, S — аудан, P — периметр.

Шарты: Қабырғалар бірдей ұзындық бірлігінде, аудан квадрат бірлікте өлшенеді.

Пайыз — санның жүзден бір бөлігі. Пропорция — екі қатынастың теңдігі.

N — бастапқы сан; p — пайыз саны; A — табылатын бөлік.

Шарты: N мен A бірдей бірлікте болуы керек. Бағаның төмендеуінде бастапқы бағаға қатысты пайыз алынады.

Рационал санды m/n түрінде жазуға болады, мұнда m — бүтін сан, n — нөлден өзге бүтін сан.

a, b — сандар; − таңбасы санның қарама-қарсысын көрсетеді.

Шарты: Бөлу кезінде бөлгіш нөл болмайды. Бірдей таңбалар көбейтіндісі оң, әртүрлі таңбалардікі теріс.

Теңдеудің түбірі — теңдікті дұрыс ететін айнымалының мәні.

x — белгісіз; a — коэффициент; b, c — белгілі сандар.

Шарты: a ≠ 0. Екі жаққа бірдей амал қолданғанда теңдік сақталады.

a санының n дәрежесі — a-ның n рет көбейтіндісі.

a — негіз; m, n — дәреже көрсеткіштері.

Шарты: Бұл көбейту ережесінде негіздер бірдей болуы керек.

Функция әрбір x мәніне бір ғана y мәнін сәйкестендіреді. Сызықтық функцияның графигі — түзу.

x — аргумент; y — функция мәні; k — көлбеулік коэффициенті; b — y осімен қиылысу ординатасы.

Шарты: k, b — нақты сандар; x ∈ R. k = 0 болса, график көлденең түзу.

Үшбұрыш — үш қабырғадан тұратын көпбұрыш. Оның ішкі бұрыштарының қосындысы 180°.

α, β, γ — үш ішкі бұрыш.

Шарты: Евклид жазықтығындағы үшбұрыш үшін; барлық бұрыштар оң.

Арифметикалық квадрат түбір — квадраты берілген санға тең теріс емес сан.

a, b — түбір астындағы сандар.

Шарты: a ≥ 0 және b ≥ 0. √(a²) = |a|.

Квадрат теңдеу — ax² + bx + c = 0 түріндегі теңдеу, a ≠ 0.

D — дискриминант; a, b, c — коэффициенттер.

Шарты: D > 0 — екі нақты түбір; D = 0 — бір еселігі екі түбір; D < 0 — нақты түбір жоқ.

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның квадраты катеттер квадраттарының қосындысына тең.

a, b — катеттер; c — тік бұрышқа қарсы гипотенуза.

Шарты: Тек тікбұрышты үшбұрыш үшін қолданылады. Ұзындықтар бірдей бірлікте.

Арифметикалық прогрессияда әрбір келесі мүше алдыңғы мүшеге тұрақты d санын қосу арқылы алынады.

a₁ — алғашқы мүше; d — айырма; n — мүшенің реттік саны.

Шарты: n — оң бүтін сан. d тұрақты болуы керек.

Ықтималдық кездейсоқ оқиғаның орындалу мүмкіндігін сипаттайды. Орташа мән — сандар қосындысының санына қатынасы.

m — қолайлы нәтижелер саны; n — барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны.

Шарты: Нәтижелер тең мүмкіндікті, n > 0 және 0 ≤ m ≤ n.

Сүйір бұрыштың синусы — қарсы катеттің гипотенузаға қатынасы.

a — қарсы катет; b — іргелес катет; c — гипотенуза.

Шарты: 0° < α < 90°, тікбұрышты үшбұрыш үшін.

Туынды функцияның берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығын сипаттайды.

n — дәреже; штрих — туынды белгісі.

Шарты: Бұл сабақта n — оң бүтін сан, x — нақты сан.

Көлем — кеңістіктегі дене алатын орынның өлшемі. Тік призманың көлемі табан ауданы мен биіктіктің көбейтіндісіне тең.

Sₜ — табан ауданы; h — биіктік; r — радиус.

Шарты: Ұзындықтар бірдей бірлікте; көлем куб бірлікте беріледі.

logₐ b — a негізін b-ға тең ететін дәреже көрсеткіші.

a — негіз; b — аргумент; c — логарифм мәні.

Шарты: a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Алғашқы функцияның туындысы бастапқы функцияға тең. Анықталған интеграл бағытталған ауданды есептеуге мүмкіндік береді.

C — тұрақты; n — дәреже.

Шарты: n ≠ −1. Осы сабақта n — теріс емес бүтін сан. Аудан үшін функцияның таңбасы ескеріледі.

Натурал сандар санау үшін қолданылады. Өрнекте алдымен жақша, содан кейін көбейту мен бөлу, соңында қосу мен азайту орындалады.

a, b, c — сандар; жақша амалдың басымдығын көрсетеді.

Шарты: Бірдей басымдықтағы амалдар солдан оңға қарай орындалады.

ЕҮОБ — екі санды да бөлетін ең үлкен натурал сан. ЕКОЕ — екі санға да бөлінетін ең кіші оң сан.

a, b — оң бүтін сандар.

Шарты: Жай көбейткіштерге жіктеу арқылы ортақ көбейткіштер таңдалады.

Аралас сан бүтін және бөлшек бөліктерден тұрады. Бөлшектерді көбейткенде алымдар мен бөлімдер жеке көбейтіледі.

a, c — алымдар; b, d — бөлімдер.

Шарты: b және d нөл емес. Көбейту алдында ортақ көбейткіштерді қысқартуға болады.

Бірқалыпты қозғалыста жылдамдық уақыт бірлігінде жүрілген жолды көрсетеді.

s — жол; v — жылдамдық; t — уақыт.

Шарты: Бірліктер сәйкес болуы керек: км/сағ және сағат болса, жол км-мен шығады.

Қатынас екі шаманы салыстырады. Масштаб сызбадағы ұзындықтың нақты ұзындыққа қатынасын білдіреді.

l — сызбадағы ұзындық; L — нақты ұзындық; n — масштаб бөлімі.

Шарты: Қатынастағы ұзындықтар алдымен бір өлшем бірлігіне келтіріледі.

Тура пропорционалдықта шамалардың қатынасы, кері пропорционалдықта көбейтіндісі тұрақты.

k — тұрақты коэффициент; x, y — шамалар.

Шарты: Кері пропорционалдықта x нөл емес; мысалдарда жұмыс өнімділігі бірдей деп алынады.

Сан модулі — координаталық түзудегі санға сәйкес нүктеден нөлге дейінгі қашықтық.

a, b — нүктелер координаталары; d — қашықтық.

Шарты: Қашықтық пен модуль теріс болмайды.

Теңсіздік екі өрнектің үлкен немесе кіші екенін көрсетеді. Теріс санға көбейту не бөлу теңсіздік таңбасын өзгертеді.

x — белгісіз; a — нөл емес коэффициент; > және < — салыстыру таңбалары.

Шарты: Шекаралық санның шешімге кіретінін қатаң немесе қатаң емес таңба анықтайды.

Көпмүше бірмүшелердің қосындысынан тұрады. Ұқсас мүшелердің айнымалылары мен олардың дәрежелері бірдей.

a, b — коэффициенттер; x — айнымалы.

Шарты: x пен x² ұқсас мүшелер емес; тек бірдей айнымалы бөліктер біріктіріледі.

Тепе-теңдік айнымалылардың барлық рұқсат етілген мәндерінде дұрыс болады. Қосынды квадратында екі еселенген көбейтінді бар.

a, b — нақты сандар; 2ab — екі еселенген көбейтінді.

Шарты: (a + b)² тек a² + b²-ге тең емес: ортаңғы 2ab мүшесін ұмытпа.

Жүйе шешімі — барлық теңдеулерді бір уақытта қанағаттандыратын айнымалылар жұбы.

x, y — белгісіздер; s, d — белгілі қосынды мен айырма.

Шарты: Табылған екі мәнді жүйенің екі теңдеуінде де тексер.

Медиана — реттелген қатардың ортасы; мода — ең жиі мән; құлаш — ең үлкен және ең кіші мәндердің айырмасы.

R — құлаш; xmax, xmin — шеткі мәндер.

Шарты: Медиана үшін қатарды ретте; жұп санды қатарда ортасындағы екі мәннің орташа саны алынады.

Рационал өрнек — көпмүшелердің қатынасы. Қысқарту ортақ көбейткіштерге ғана қолданылады.

x — айнымалы; a — сан.

Шарты: x ≠ a. Қысқартқаннан кейін де бастапқы бөлімнің нөл емес шарты сақталады.

Квадраттық функция графигі — парабола. a оң болса тармақтары жоғары, теріс болса төмен бағытталады.

a, b, c — коэффициенттер; x₀ — төбе абсциссасы.

Шарты: a ≠ 0; төбенің ординатасы y₀ = f(x₀) арқылы табылады.

Параллелограммда қарама-қарсы қабырғалар параллель. Трапецияның екі параллель қабырғасы табандар деп аталады.

a, b — табандар; h — перпендикуляр биіктік.

Шарты: Биіктік көлбеу қабырға емес; барлық ұзындықтарды бір бірлікке келтір.

Ұқсас үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары тең, сәйкес қабырғалары пропорционал.

k — екінші фигураның біріншіге қатысты ұқсастық коэффициенті.

Шарты: Сәйкес қабырғаларды дұрыс жұпта; k оң сан.

Геометриялық прогрессияда әр келесі мүше алдыңғы мүшені тұрақты q санына көбейту арқылы алынады.

b₁ — бірінші мүше; q — еселік; n — мүшелер саны.

Шарты: Қосындының бұл формуласында q ≠ 1; q = 1 болса Sₙ = nb₁.

Комбинаторика нұсқаларды санайды. Көбейту ережесі тізбекті таңдаулар санын көбейтеді; теруде таңдау реті маңызды емес.

n — түрлі элементтер саны; C — терулер саны.

Шарты: Элементтер қайталанбайды, жұптың реті есептелмейді; n кемінде 2.

Шеңбер — центрден бірдей қашықтықтағы нүктелер жиыны; дөңгелек — оның ішкі аймағымен бірге алынған фигура.

r — радиус; L — ұзындық; S — аудан; π — пи саны.

Шарты: Диаметр 2r-ге тең. π жуықтауы тапсырмада берілмесе, жауапты π-ге қатысты жаз.

Вектор бағыт пен ұзындыққа ие. Координаталары соңғы нүкте мен бастапқы нүкте координаталарының айырмасынан табылады.

x, y — вектор координаталары; |v| — ұзындық.

Шарты: Ұзындық формуласы тікбұрышты декарт координаталар жүйесінде қолданылады.

Радиан — доға ұзындығы радиусқа тең болғандағы центрлік бұрыш өлшемі. Толық айналым 2π радиан.

α — бұрыш; рад — радиан.

Шарты: Косинус не синус таңбасын таңдағанда бұрыштың ширегін ескер.

Тригонометриялық теңдеулерде белгісіз бұрыш тригонометриялық функция аргументі болады; периодтылықтан шешімдер қайталанады.

n — кез келген бүтін сан; x — бұрыш.

Шарты: Бұл формула градуспен жазылған; берілген аралықтың шеттерін ескер.

Туынды графикке жүргізілген жанаманың көлбеулік коэффициентіне тең. Жол функциясының туындысы лездік жылдамдықты береді.

x₀ — жанасу нүктесінің абсциссасы; f′(x₀) — көлбеулік.

Шарты: Функция x₀ нүктесінде дифференциалданатын болуы керек.

Кеңістіктегі нүкте үш координатамен беріледі. Қашықтық үш координата айырмасының квадраттары арқылы есептеледі.

x, y, z — координаталар; d — қашықтық.

Шарты: Өзара перпендикуляр осьтері бар декарт жүйесі; координаталар бірдей бірлікте.

Көрсеткіштік теңдеуде белгісіз дәреже көрсеткішінде болады. Жарамды бірдей негіздердің дәрежелері тең болса, көрсеткіштері тең.

a — негіз; u, v — көрсеткіштер.

Шарты: a > 0 және a ≠ 1. Әртүрлі негіздерді бірдей негізге түрлендір.

Логарифмдік теңдеуді дәрежелік теңдікке айналдырып шешуге болады. Аргумент міндетті түрде оң болуы керек.

a — негіз; g(x) — аргумент; b — логарифм мәні.

Шарты: a > 0, a ≠ 1, g(x) > 0; әр шешімді бастапқы шартта тексер.

Екі график арасындағы аудан жоғарғы және төменгі функциялардың айырмасын интегралдау арқылы табылады.

a, b — шекаралар; f — жоғарғы, g — төменгі функция.

Шарты: a ≤ b және бүкіл аралықта f(x) ≥ g(x); графиктер орын ауыстырса аралықты бөл.

Бөлшекке бөлу — оның кері санына көбейту.

a, c — алым; b, d — бөлім.

Шарты: b, c, d нөл емес.

Дөңгелектеу санды берілген разрядқа дейін жуықтайды.

≈ — жуық теңдік.

Шарты: Келесі цифр 5 не үлкен болса, сақталатын цифр бірге артады.

Координаталық жазықтықта нүкте реттелген (x; y) жұбымен беріледі.

x — абсцисса, y — ордината.

Шарты: Осьтер перпендикуляр; координаталар реті маңызды.

Өзгеріс әр қадамдағы ағымдағы шамаға есептеледі.

p — өсім пайызы; төмендеуде минус қолданылады.

Шарты: Әр қадамда пайыз негізін қайта анықта.

Жіктеу қосындыны көбейтіндіге айналдырады.

a — ортақ көбейткіш.

Шарты: Барлық мүшеге ортақ көбейткішті таңда.

Параллель түзулерді қиюшы қиғанда сәйкес бұрыштар тең, ішкі тұстас бұрыштар қосындысы 180°.

α, β — ішкі тұстас бұрыштар.

Шарты: Түзулер параллель болуы қажет.

Виет теоремасы коэффициенттерді түбірлермен байланыстырады.

a, b, c — ax² + bx + c = 0 коэффициенттері.

Шарты: a ≠ 0; нақты түбірлерді қарастырғанда D ≥ 0.

Орта нүкте координаталары ұштарының координаталарының орташа мәндеріне тең.

x₁, x₂ — ұштардың абсциссалары.

Шарты: Декарт координаталар жүйесінде қолданылады.

Көбейткіштер таңбаларын салыстыру арқылы квадрат теңсіздіктің шешімі табылады.

a, b — түбірлер.

Шарты: a < b; қатаң теңсіздікте шеттер кірмейді.

Үшінші қабырға квадраты екі қабырға квадраттарының қосындысынан бұрыш косинусы бар көбейтіндіні азайтуға тең.

γ — a мен b арасындағы бұрыш; c — қарсы қабырға.

Шарты: a, b > 0; 0° < γ < 180°.

Анықталу облысы — функция мағынасы бар аргумент мәндерінің жиыны.

g(x) — аргументке тәуелді өрнек.

Шарты: Бірнеше шектеудің ортақ шешімі алынады.

Скаляр көбейтінді сәйкес координаталар көбейтінділерінің қосындысына тең.

u, v — векторлар.

Шарты: Ортонормаль координаталар жүйесінде; нөл емес векторлар үшін көбейтінді нөл болса перпендикуляр.

Негізі бірден үлкен көрсеткіштік функция өседі, нөл мен бір арасындағысы кемиді.

a — негіз; u, v — көрсеткіштер.

Шарты: a > 0 және a ≠ 1; 0 < a < 1 болса таңба өзгереді.

Сфера — центрден бірдей қашықтықта орналасқан кеңістіктегі нүктелер беті.

S — бет ауданы; r — радиус.

Шарты: r > 0; диаметр берілсе оны екіге бөл.

Конус көлемі сол табаны мен биіктігі бар цилиндр көлемінің үштен біріне тең. Шардың барлық шекаралық нүктелері центрден бір радиус қашықтықта.

r — радиус; h — конустың перпендикуляр биіктігі.

Шарты: Конус биіктігін жасаушымен шатастырма; көлем куб бірліктермен беріледі.